2.2 井戸型ポテンシャル内の一次元自由粒子
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一次元の Schrödinger 方程式 (2.2.1) において，前節の自由粒子では常にポテンシャルエネルギー V を0とおいて計算した。 ここでは，0 < x < a の範囲で V = 0，x ≤ 0，x ≥ a の範囲で V = ∞ となる場合を考える。 |
0 < x < aでは，(2.2.1) は (2.1.4) と同一であり，その一般解は (2.1.8)，または (2.2.2) で表される。
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(2.2.2) |
x ≤ 0，x ≥ a の範囲では ψ = 0 （粒子の存在確率が0）で，かつ，ψ は連続関数でなければならないので，(2.2.2) より
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(2.2.3) |
さらに，
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(2.2.4) |
となることから
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(2.2.5) |
の関係式が得られる。ここで，n = 0 では ψ は常に0となるため無意味であり，n が負の整数の場合も ψ の符号が変わるだけで n が正の場合と同じ状態を表すので考慮しなくてよい。
(2.2.5) を変形するとエネルギーが求められ，
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となる。(2.2.6) はエネルギー En が0以上の任意の値ではなく離散値をとることを示している。
(2.2.3)，(2.2.5) を (2.2.2) に代入すると，
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(2.2.7) |
となる。規格化条件
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(2.2.8) |
より B' を求めると
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(2.2.9) |
である。したがって，波動関数は
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である。
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古典的な自由粒子は 0 < x < a の範囲に一様に存在しているが，量子数 n が 1 のときは，x = 0.5a で存在確率が最大になる（|ψ|2 が存在確率を表す）ことに注意する。 n が大きくなると，存在確率は一様になり古典的粒子に近づく。 エネルギーの単位 h2/8ma2 は，a = 1 cm の中にある水素分子を例にとると，m = 2 × 1.661 × 10-27 kg より，1.653 × 10-37 J と計算される。この値は，回転運動のエネルギー単位（3.3 節）と比べて 10-16 も小さいので，事実上エネルギーは連続的な値をとると考えてよい。 |
Revised: 2007-07-02
(2.1.8) から (2.2.2) への変形には Euler（オイラー）の公式
を利用する。