2.3　箱の中の三次元自由粒子

　三次元の Schrödinger 方程式は (2.3.2) である。

　いま，粒子は自由運動をしているので，x, y, z の各方向の運動は互いに独立している。したがって，波動関数 ψ は x, y, z のそれぞれの一次元関数の積の形における（変数分離）。

　(2.3.1)，(2.3.3) を (2.3.2) に代入すると，(2.3.4) となる。

　(2.3.4) の z に依存する項のみを移項することが可能であり，(2.3.5) のように変形できる。

　(2.3.5) の左辺は x と y，右辺は z のみに関係しているので，両辺はある定数に等しい。その定数を k とおくと，z に関する式は (2.3.6) になる。

　さらに，(2.3.8) にしたがって k を E_z に置き換えて (2.3.6) を変形すると，一次元の式 (2.2.1) と同じ形の (2.3.7) になることがわかる。

　(2.3.7) を (2.3.5) に代入すると，x と y についても同様の手続きで (2.3.9) のように変数分離できる。

　全エネルギー E が (2.3.10) のように x, y, z 成分の和に表されるとすると，

(2.3.9) より，(2.3.7) と同様の x, y についての式 (2.3.11)，(2.3.12) を得る。

　(2.3.7)，(2.3.11)，(2.3.12) の解は (2.2.1) の解 (2.2.10) と同様であり，したがって

エネルギーは (2.2.6) より

と求められる。