1.7　角運動量の z 成分および２乗の固有関数（２）

　次に，角運動量の２乗に関する式 (1.5.12) を解く。

　(1.5.12) の Y を (1.6.1) にしたがって変数分離し整理すると，(1.7.1) のようになる。

　(1.7.1) の左辺は θ のみ，右辺は φ のみの関数になっているので，両辺は定数でなければならない。実際，右辺は前節で求めた (1.6.11) を代入すると m² になる。従って，(1.7.1) は，

となる。(1.7.2) の解は，l が0以上の整数で l ≧ |m| のときだけ存在し，Legendre（ルジャンドル）の陪多項式 で表される（解法は省略）。

(1.7.4) において， c は任意定数である。

　(1.6.7) に従って Θ を規格化し c を求めると，

となる。

　以上をまとめると，

となる。ただし，(1.7.8) の R(r) は (1.6.6) の条件を満たす任意の一価連続有限な関数である。

　l が2までの具体的な Y は以下の通りである。