2　自由粒子

2.1　一次元の自由粒子

と表される（p は運動量）。これを

にしたがって演算子に変換すると

となるので，解くべき Schrödinger 方程式は

である。(2.1.4) を変形すると

となる。一般に，

の一般解は

なので（A，B は任意定数），(2.1.5) の解は

となる。

　ところで，x → ±∞ のとき波動関数 ψ は有限でなくてはならないという要請がある。いま E < 0 と仮定すると，(2.1.8) は

であるが，(2.1.9) では，x → ±∞ において ψ → ±∞ となるため，E < 0 の仮定が誤りであることがわかる。一方，E ≥ 0 では E の値に束縛条件はないので，E は0以上の任意の値をとるという結果となる。