5.3 水素類似原子の波動関数とエネルギー（１）
電子についての Schrödinger 方程式
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(5.2.6) |
または，演算子（ラプラシアン）の記号を使って |
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(5.3.1) |
を解く際にも，剛体回転子のときと同様に極座標に変換する。
ラプラシアンの極座標表示は
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(5.3.2) |
なので，Schrödinger 方程式は
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(5.3.3) |
となる。電子波動関数 ψ を，次の (5.3.4) のように，長さ r のみに依存する R(r) （動径分布関数）と角度 θ, φ のみに依存する Y(θ,φ) （球面調和関数，角運動量や剛体回転子の計算で出てきたものと同じ）の積に変数分離すると，(5.3.3) は (5.3.5) のように書ける。
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(5.3.4) |
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(5.3.5) |
(5.3.5) の左辺は r のみ（動径部分），右辺は θ，φ のみ（角度部分）の関数なので，両辺に等しい定数が存在する。実際，右辺は，既に求められている角運動量の２乗に関する式
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(5.3.6) |
を利用すると，l(l + 1) に等しいことがわかる。したがって，(5.3.5) の左辺より，r に関する式は
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(5.3.7) |
となる。ここで注意すべきことは，電子エネルギー E は r のみに関する (5.3.7) を解くことで得られるということである。(5.3.7) は V(r) が (5.1.6) のようなクーロンポテンシャル，すなわち V(r) = -Ze2/4πε0r の場合のみ解け，解は次のようになることが知られている（解法は省略）。
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(5.3.8) | |
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(5.3.9) | |
ただし， |
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(5.3.10) |
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(5.3.11) | |
（規格化定数）
（Bohr 半径） ここで，
は Laguerre（ラゲール）の陪多項式とよばれるもので，(5.3.12) で表される。(5.3.12) の 
は (5.3.13) で表される Laguerre の多項式である。
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(5.3.12) |
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(5.3.13) |
また，電子エネルギーは
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(5.3.14) |
である。
Revised: 2007-07-02
cgs 単位系では，Bohr 半径は
である。
cgs 単位系では，電子エネルギーは
である。